用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用．甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；乙同学说：“当正方形的一边在最短边上

Question

用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用．
甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；
乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”；
丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸．”
你认为谁说的有道理，请证明．
（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a>b>c，三边上的高分别记为h_a，h_b，h_c）

Answer 1

设△ABC的三条边上的对应高分别为h_a，h_b，h_c．
由（1）、（2）可得：(xa)/(a)=(ha-xa)/(ha)，
∴x_a=(aha)/(a+ha)，
同理x_b=(bhb)/(b+hb)，x_c=(chc)/(c+hc)，
∵x_a-x_b=(aha)/(a+ha)-(bhb)/(b+hb)=(2s)/(a+ha)-(2s)/()b+h_b=2S（(1)/(a+ha)-(1)/(b+hb)），
=(2s)/((a+ha)(b+hb))（b+h_b-a-h_a），
=(2s)/((a+ha)(b+hb))（b-a）（1-(ha)/(b)），
∵a>b，h_a<b，
∴（b-a）（1-(ha)/(b)）<0，
即x_a-x_b<0，
∴x_a<x_b，
同理：x_b<x_c，
∴x_a<x_b<x_c．
∴乙同学说的正确．