如图,四边形ABCD内接于圆O,角BAD=60,角ABC=90,BC=3,CD=5,求对角线AC与BD的长.

Question

如图,四边形ABCD内接于圆O,角BAD=60,角ABC=90,BC=3,CD=5,求对角线AC与BD的长.

Answer 1

延长DC,AB交于点E,
因为∠ECB=∠BAD=60°(圆内接四边形的外角等于它的内对角)
∠ABC=90°
∴∠EBC=90°   ∴∠E=30°
∴EC=2BC=2×3=6
∴EB=√(3)BC=3√(3)
∴ED=DC+EC=5+6=11
因为EC×ED=EB×(EB+AB)
则6×11=3√(3)×(3√(3)+AB)
∴AB=13√(3)/3
∴AC=√((3^2)+((13√(3)/3)^2))=14√(3)/3
因为∠EDB=∠EAC
∠E=∠E
∴△EDB∼△EAC
∴BD/AC=BE/CE
则BD=AC•BE/CE=(14√(3)/3)×3√(3)/6=7