（2011•普陀区三模）如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；

Question

（2011•普陀区三模）如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
（2）试探究：当点P运动到什么位置时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．

Answer 1

（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积S＝(|AC|•|BD|)/(2)，
而由于|AC|=d为定长，
则当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，
故当且仅当BD过圆心M时，四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为dr．
（2）由题意，不难发现，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，
所以此时四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大．
类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大．
以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．
证：设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），平行弦MN的方程为y=kx+m，
联立可得b²x²+a²（kx+m）²-a²b²=0⇒（b²+a²k²）x²+2kma²x+m²a²-a²b²=0
不妨设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则|MN|＝√(1+k2)|x1−x2|
=√(1+k2)•√(((−2kma2)/(b2+a2k2))2−4(m2a2−a2b2)/(b2+a2k2))
=

作业帮用户 2017-09-18

问题解析

（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积S＝(|AC|•|BD|)/(2)，由于|AC|=d为定长，当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，由此能求出四边形ABCD面积的最大值．
（2）由题意，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，由此能求出四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大；类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大；以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．类比猜想3：当点P•在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值2ab．要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；类比推理．

考点点评：

本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行类比猜想．

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