如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：△AGE≌△ECF；（2）连接GD，DF．判断四边形GEFD的形状，并说明理

Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：△AGE≌△ECF；
（2）连接GD，DF．判断四边形GEFD的形状，并说明理由．

Answer 1

证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，

∠AGE＝∠CF

AG＝CE

∠GAE＝∠CEF

，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；
（2）四边形GEFD是平行四边形，
理由如下：过点F作FM⊥BH于M，过F作FN⊥DC于N，
易证△AGD≌△ABE，
∴GD=AE，∠BAE=∠ADG，
∵△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
∴GD=EF，
在△AGD和△EFM中，

∠DAG＝∠FHE＝90°

∠ADG＝∠FEH

GD＝FE

，
∴△AGD≌△EFM（AAS），
∴GD=EF，
在△DFN和△BGE中，

DN＝BE

∠DNF＝∠B＝90°

NF＝BG

，
∴△DFN≌△BGE（SAS），
∴DF=GE，
∴四边形GEFD是平行四边形．