如图,三角形ABC是等边三角形,CE是外角∠ACF的平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E

Question

如图,三角形ABC是等边三角形,CE是外角∠ACF的平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°；
∵CE是外角平分线,
∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE,
∴△ABD∽△CED；
作BM⊥AC于点M,如图,AC=AB=6
∴AM=CM=3,BM=AB•sin60°= 33；
∵AD=2CD,∴CD=2,AD=4,MD=1；
在Rt△BDM中,BD= BM2+MD2= 27；
由（1）△ABD∽△CED得,BDED=ADCD,27ED=2,
∴ED= 7,∴BE=BD+ED= 37．
－－－－－－－－
（1）由于△ABC是等边三角形,易知∠A=60°,∠ACF=120°；而CE平分∠ACF,可得∠A=∠DCE=60°,又已知了一组对顶角,两组对应角相等,可判定所求的两个三角形相似；
（2）由于△ABC是等边三角形,则AC=BC=6,由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M,根据等边三角形的性质知AM=MC,由此可求出MD、MB的长,进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形,可得出关于AD、CD,BD、DE的比例关系式,即可求出DE的长,从而由BE=BD+DE求出BE的长．
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