三角形ABC的一个外角ACD的角平分线CE与角ABC的角平分线相交于E,角CEB=40度,求角CAE的度数

Question

三角形ABC的一个外角ACD的角平分线CE与角ABC的角平分线相交于E,角CEB=40度,求角CAE的度数

Answer 1

设BE与AC的交点为D
CE是外角的平分线
则 ∠ACE=（180°-∠ACB）/2=90°-∠ACB/2,BC/CD=BE/DE（三角形外角平分线定理）
而 ∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°
即 ∠CBE+∠CEB+∠BCA+∠ACE=180°
而 ∠CEB=40°
即 ∠CBE+40°+∠BCA+90°-∠ACB/2=180°
即 ∠CBE+∠BCA/2=50°
而 BE是角B的平分线
则 ∠CBE=∠ABE=∠CBA/2,AB/BC=AD/DC（三角形内角平分线定理）
故有 ∠CBA/2+∠BCA/2=50°
即 ∠CBA+∠BCA=100°
所以 ∠BAC=80°

因为 BC/CD=BE/DE,AB/BC=AD/DC
所以 AB/AD=BE/DE
即 AE为角A的外角平分线
即有 2∠EAC+∠BAC=180°
故 ∠EAC=50°