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一个圆周上任取3个点,求三点构成的三角形为钝角、直角三角形的概率分别是多少如题,
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一个圆周上任取3个点,求三点构成的三角形为钝角、直角三角形的概率分别是多少
如题,
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答案和解析
如图,三角形ABC是圆O的内接钝角三角形,角A是钝角.连结AO并延长,与圆O交于点E,连结BE和CE,则三角形EBC是锐角三角形（因为三角形EBC任意三边都小于直径）,且因A与E是一一对应的,故三角形EBC和ABC也是一一对应的.取BC边中点D,连结DO并且过O作垂直于DO的直径FG,连结FA,GA,则三角形AFG是直角三角形,并且因为FG与BC是一一对应的,三角形AFG与三角形ABC也是一一对应的.
因此,综上所述,只要有一个给定的圆内接钝角三角形,就可以找到与其一一对应的一个锐角三角形和一个直角三角形,于是圆内接三角形是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形的概率是相等的.又因为圆内接三角形只有上述三种形式,故在圆内任取三点构成的三角形,是钝角三角形、直角三角形或锐角三角形的概率均为1/3.
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这是一道很好的题目,把几何和概率结合起来,引人思考!
如果有什么不明白的地方请继续追问!
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因此,综上所述,只要有一个给定的圆内接钝角三角形,就可以找到与其一一对应的一个锐角三角形和一个直角三角形,于是圆内接三角形是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形的概率是相等的.又因为圆内接三角形只有上述三种形式,故在圆内任取三点构成的三角形,是钝角三角形、直角三角形或锐角三角形的概率均为1/3.
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