在一个锐角三角形中,做一点,是这点到三顶点距离和最小如题

Question

在一个锐角三角形中,做一点,是这点到三顶点距离和最小
如题

Answer 1

费马点定义
在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点.
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
（1） 等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线.是内切圆和外切圆的中心.△BPC≌△CPA≌△PBA.
（2） 当BC=BA但CA≠AB时,BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线.
证明
(1)费马点对边的张角为120度.
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度,∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,
又∠APC=120度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合）,连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1