如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于点G求证：（1）DF=AC；（2）GD=GE．

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于点G
求证：（1）DF=AC；（2）GD=GE．

Answer 1

证明：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=(1)/(2)AB，∠ABC=60°，
∵F为AB中点，
∴BF=(1)/(2)AB，
∴BF=BC，
又∵△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，∠ABD=60°，
在△DBF和△ABC中，
∵

DB=AB

∠DBF=∠ABC=60°

BF=BC

，
∴△DBF≌△ABC，
∴DF=AC；

（2）∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，∠CAE=60°，
又∵DF=AC，∠BAC=30°，
∴DF=EA，∠GAE=90°，
∵△ABD为等边三角形，且F为AB中点，
∴DF⊥AB，即∠DFG=90°，
在△DFG和△EAG中，
∵

∠DGF=∠EGA

∠DFG=∠EAG

DF=EA

，
∴△DFG≌△EAG（AAS），
∴DG=EG．