如图1，在△ABC中，AB=AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形．（1）求证：直线AG垂直平分BC；（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说

Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形．
（1）求证：直线AG垂直平分BC；
（2）以AB为一边作等边△ABE（如图2），连接EG、EC，试判断△EGC是否构成直角三角形？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△GBC为等边三角形，
∴GB=GC，
∴点G在BC的垂直平分线上，
又∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴直线AG垂直平分BC；                                
（2） △EGC能构成直角三角形；理由如下：
∵△GBC和△ABE为等边三角形，
∴GB=BC=GC，EB=BA，∠EBA=∠GBC=∠BGC=∠BCG=60°，
∴∠EBC=∠ABG，
在△EBC和△ABG中，

EB=BA

∠EBC=∠ABG

BC=GB

，
∴△EBC≌△ABG（SAS），
∴∠ECB=∠AGB，
∵GB=GC且AG⊥BC，
∴∠AGB=(1)/(2)∠BGC=30°
∴∠ECB=30°，
∴∠ECG=90°，
即△EGC构成直角三角形．