对任何正整数n,求证：n(n-1)(n-2)-6[n/3]能被18整除.[n/3]:代表n/3的整数部分.例如：[4.3]=4.

Question

对任何正整数n,求证：
n(n-1)(n-2)-6[n/3] 能被18整除.[n/3]:代表n/3的整数部分.例如：[4.3]=4.

Answer 1

当n=1,2,3时,原式=0,可被18整除
当n=3k,K>1且是正整数
原式=3k(3k-1)(3k-2)-6[3k/3]
=3k(9k²-9k+2)-6k
=3k(9k²-9k+2-2)
=3k(9k²-9k)
=27k²(k-1)
∵当K>1且是正整数时,k²和k-1中有且只有一个数为偶数
∴当n=3k,原式可被18整除
当n=3k+1时,K>1且是正整数
原式=(3k+1)3k(3k-1)-6[(3k+1)/3]
=3k(9k²-1)-6k
=3k(9k²-3）
=9k(3k²-1）
∵当K>1且是正整数时,k和3k²-1中有且只有一个数为偶数
∴当n=3k+1,原式可被18整除
当n=3k+2时,K>1且是正整数
原式=（3k+2)(3k+1)3k-6[(3k+2)/3]
=3k(9k²+9k+2)-6k
=3k(9k²+9k+2-2)
=27k²(k+1)
∵当K>1且是正整数时,k²和k+1中有且只有一个数为偶数
∴当n=3k+2,原式可被18整除
∴对任何正整数n,n(n-1)(n-2)-6[n/3] 能被18整除