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如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;(2)求线段BD的长.
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如图,△ABC是边长为3的等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.

(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.

(1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论;
(2)求线段BD的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)AC⊥BD.
∵△DCE由△ABC平移而成,
∴BE=2BC=6,DE=AC=3,∠E=∠ACB=60°,
∴DE=
BE,
∴BD⊥DE,
又∵∠E=∠ACB=60°,
∴AC∥DE,
∴BD⊥AC,
∵△ABC是等边三角形,
∴BF是边AC的中线,
∴BD⊥AC,BD与AC互相垂直平分;
(2)∵由(1)知,AC∥DE,BD⊥AC,
∴△BED是直角三角形,
∵BE=6,DE=3,
∴BD=
=
=3
.
∵△DCE由△ABC平移而成,
∴BE=2BC=6,DE=AC=3,∠E=∠ACB=60°,
∴DE=
1 |
2 |
∴BD⊥DE,
又∵∠E=∠ACB=60°,
∴AC∥DE,
∴BD⊥AC,
∵△ABC是等边三角形,
∴BF是边AC的中线,
∴BD⊥AC,BD与AC互相垂直平分;
(2)∵由(1)知,AC∥DE,BD⊥AC,
∴△BED是直角三角形,
∵BE=6,DE=3,
∴BD=
BE2−DE2 |
62−32 |
3 |
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