如图,三角形ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3AC,BE与AD相交于点F,连接DE,则下列结论：1.角AFE=60度；2.DE⊥AC；3.CE^2=DF×DA;4.AF×BE=AE×AC,其中正确的是（填序号）.

Question

如图,三角形ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3AC,BE与AD相交于点F,连接DE,则下列结论：1.角AFE=60度；2.DE⊥AC；3.CE^2=DF×DA;4.AF×BE=AE×AC,其中正确的是___________（填序号）.

Answer 1

1. ∵AB=BC=AC, BD=1/3BC,CE=1/3AC
∴BD＝CE,∠ABC＝∠C
∴ΔABD≌ΔBCE
∴∠BAD＝∠CBE
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠BFD+∠CBE＝>∠BFD＝60º(因∠ABC＝60º)
∴∠AFE＝∠BFD＝60º
2. ∵BC=AC, CE=1/3AC即CE＝1/2CD,且∠C＝60º
∴DE⊥AC
3. ∵∠BFD＝60º（由1证得）
∴∠BFD＝∠C
∴ΔBDF∽ΔBEC
∴DF/CE＝BD/BE＝〉DF*BE＝CE*BD＝〉DF*BE＝CE^2
∵ΔABD≌ΔBCE（由1证得）
∴AD＝BE
∴CE^2=DF*DA
4. ∵∠BAD＝∠CBE（由1证得）, ∠ABC＝∠BAC=60º
∴∠ABE=∠EAF
∵∠AFE＝60º（由1证得）
∴∠AFE=∠BAC
∴ΔABE∽ΔFAE
∴AB/AF=BE/AE＝〉AF*BE＝AE*AB＝〉AF*BE=AE*AC
所以其中正确的是1、2、3、4