如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AO平分∠BAC交DE于O．（1）若AC=27，△BCD周长等于50，求BC的长；（2）若∠BAC=40°，在BC上存在一点P（P不与B、C重合），使得△BOP是等

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AO平分∠BAC交DE于O．

（1）若AC=27，△BCD周长等于50，求BC的长；
（2）若∠BAC=40°，在BC上存在一点P（P不与B、C重合），使得△BOP是等腰三角形，求∠BPO的度数．

Answer 1

（1）∵AC的垂直平分线交AB于D，
∴DA=DC，
∵△BCD周长等于50，
即BC+BD+CD=50，
∴BC+BD+AD=50，
即BC+AC=50，
∴BC=50-27=23；
（2）连接OC，如图，
∵AB=AC，AO平分∠BAC，
∴AO垂直平分BC，∠1=20°，∠ABC=∠ACB=(1)/(2)（180°-∠BAC）=70°，
∴OB=OC，
∵OE垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠1=∠2=20°，
∴∠BCO=70°-20°=50°，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
当BO=BP时，∠BPO=(1)/(2)（180°-50°）=65°；
当PO=PB时，∠BPO=180°-2×50°=80°，
综上所述，∠BPO的度数为65°或80°．