在（a+b）n的展开式中第k项，第k+1项，第k+2项的系数成等差数列，求n和k的值．

Question

在（a+b）ⁿ的展开式中第k项，第k+1项，第k+2项的系数成等差数列，求n和k的值．

Answer 1

根据题意，得；
（a+b）ⁿ的展开式中第k项，第k+1项，第k+2项的系数为

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

成等差数列，
∴2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，
即2•(n!)/(k!•(n-k)!)=(n!)/((k-1)!(n-k+1)!)+(n!)/((k+1)!(n-k-1)!)，
∴2（k+1）（n-k+1）=k（k+1）+（n-k）（n-k+1），
整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
且△=（4k+1）²-4（4k²-2）=8k+9>0；
解得n=((4k+1)+√(8k+9))/(2)，或n=((4k+1)-√(8k+9))/(2)；
∴（8k+9）只能是一个奇数的平方，
令8k+9=（2m+1）²，m∈N^*；
∴8k=（2m+1）²-9=4m²+4m-8，
k=(m2+m-2)/(2)，
此时n=((4k+1)+(2m+1))/(2)=2k+m+1=（m+2）（m-1）+m+1=m²+2m-1；
∴k=(m2+m-2)/(2)，n=m²+2m-1，其中m∈N^*．