分解因式求证题的困惑（101）已知X^3＋bX^2＋cX＋d的系数均为整数,若bd＋cd为奇数,求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.我通过待定系数法证得b+c为偶数,我可以这样回答吗

Question

分解因式求证题的困惑（101）
已知 X^3＋bX^2＋cX＋d 的系数均为整数,若bd＋cd为奇数,求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【我通过待定系数法证得 b+c 为偶数,我可以这样回答吗,因为 b+c 为偶数,X^3＋bX^2＋cX＋d 能分解为两个整系数的多项式之积.请指教!】劳驾!
若bd＋cd为奇数，求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积。劳驾！

Answer 1

bd＋cd=d(b+c)
所以d和b+c 都不可能是偶数.
你怎么得出“b+c 是偶数”?
[注]：两个数的积为奇数,这2个数肯定都是奇数.
证明：
假设x^3+bx^2+cx+d能分解为两个整系数多项式的乘积,可设
x^3+bx^2+cx+d=(x+e)(x^2+fx+g)=x^3+(e+f)x^2+(g+ef)x+eg(e,f,g为整数)=>
即b=e+f,c=g+ef,d=eg.
由已知(b+c)d=(e+f+g+ef)eg=[e+g+(1+e)f]eg为奇数,故e,g均为奇数,
但e,g均为奇数 可以得出e+g+(1+e)f为偶数,故(b+c)d为偶数,矛盾!故x^3+bx^2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积．