已知二项式(x+13x)n的展开式中第4项为常数项，则1+（1-x）2+（1-x）3+…+（1-x）n中x2项的系数为（）A．-19B．19C．20D．-20

Question

已知二项式(√(x)+(1)/(3x))n的展开式中第4项为常数项，则1+（1-x）²+（1-x）³+…+（1-x）ⁿ中x²项的系数为（　　）

A．-19
B．19
C．20
D．-20

Answer 1

因为二项式(√(x)+(1)/(3x))n的展开式的通项公式，
Tr+1＝

C

r n

(√(x))n−r•((1)/(3x))r=

C

r n

x(n−r)/(2)−(r)/(3)，
展开式的第4项为常数项，所以(n−r)/(2)−(r)/(3)＝0，r=3，
所以，n=5，
则1+（1-x）²+（1-x）³+（1-x）⁴+（1-x）⁵中
x²项的系数为：C₂²+C₃²+C₄²+C₅²=1+3+6+10=20．
故选C．