已知△ABC中，F，G分别为AB，BC上一点，AG，CF交于点O，记△ABG的面积为S1，△BFC的面积为S2，且S1=S2．（1）如图1．若∠B=90°，AB=Bc，AFBF=23，求OFOC的值；（2）如图2，若∠B=90°，AF=6，CG=8，OA=3OG

Question

已知△ABC中，F，G分别为AB，BC上一点，AG，CF交于点O，记△ABG的面积为S₁，△BFC的面积为S₂，且S₁=S₂．
（1）如图1．若∠B=90°，AB=Bc，(AF)/(BF)=(2)/(3)，求(OF)/(OC)的值；
（2）如图2，若∠B=90°，AF=6，CG=8，OA=3OG，求AC的长；
（3）如图3，若∠OAC=45°，∠OCA=30°，求证：OF=√(2)OG．

Answer 1

（1）∵S₁=S₂，
∴S_△ACF=S_△ACG，
过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，
∴FM=GN，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△BAC，
∴(FG)/(AC)=(BF)/(AF)，
∵(AF)/(BF)=(2)/(3)，
∴(BF)/(BA)=(FG)/(AC)=(3)/(5)，
∵FG∥AC，
∴△FOG∽△AOC，
∴(FO)/(OC)=(FG)/(AC)=(3)/(5)；

（2）如图2，∵S₁=S₂，
∴S_△ACF=S_△ACG，
∴(1)/(2)AF•BC=(1)/(2)CG•AB，
∴(AB)/(BC)=(3)/(4)，
设AB=3k，BC=4k，
∴AC=5k，
过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，
∴FM=GN，
∴FG∥AC，
∴△BFG∽△BAC，
∴(FG)/(AC)=(OG)/(AO)=(1)/(3)，
∴FG=(5)/(3)k，
∵BF²+BG²=FG²，
∵BF=3k-6，BG=4k-8，
∴（3k-6）²+（4k-8）²=（(5)/(3)k）²，
∴k=3，k=6（不合题意），
∴AC=15；

（3）如图3，∵S₁=S₂，
∴S_△ACF=S_△ACG，
过F作FM⊥AC于M，GN⊥AC于N，连接FG，
∴FM=GN，
∴FG∥AC，
∵∠OAC=45°，∠OCA=30°，
∴∠FGA=45°，∠GFO=30°，
过O作OH⊥FG于H，
∴OH=(√(2))/(2)OG，
∵∠GFO=30°，
∴OF=2OH=√(2)OG．