分解因式中的问题（95）已知X^3＋bX^2＋cX＋d的系数均为整数,若bd＋cd为奇数,求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.我根据bd＋cd为奇数这个条件,用待定系数法证得b+c为偶数

Question

分解因式中的问题（95）
已知 X^3＋bX^2＋cX＋d 的系数均为整数,若bd＋cd为奇数,求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【我根据bd＋cd为奇数这个条件,用待定系数法证得 b+c 为偶数,这样就与条件有矛盾,我是否可以这样认为：因为 bd＋cd 为奇数不符合 X^3＋bX^2＋cX＋d 能分解为两个整系数的多项式之积的条件,所以,此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.请指教!】劳驾!

Answer 1

恩,你这样考虑也可以,因为你由待定系数法确定b+c为偶数,但是不是所有的偶数都满足条件,所以说至少可以说b+c为偶数,是此多项式分解为两个整系数的多项式之积的必要条件,所以若bd+cd=(b+c)d为奇数,即b+c为奇数不满足条件,即此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.
这个问题我这样考虑的X^3＋bX^2＋cX＋d=x^2(x+b)+c(x+d/c) 要使此式子要分解为两个整系数的多项式之积,须使b=d/c即d=bc,而d是奇数bc是偶数,不能相等,所以此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.