设有n次多项式f（x）=nk＝0akxk，若a0an＜0，证明：方程f（x）=0在（0，+∞）上至少有一根．

Question

设有n次多项式f（x）=

n

k＝0

akxk，若a₀a_n＜0，证明：方程f（x）=0在（0，+∞）上至少有一根．

Answer 1

证明：由于f（x）=

n

k＝0

akxk=xn

n

k＝0

(ak)/(xn−k)，在[0，+∞）连续
且f（0）=a₀，

lim

x→+∞

f(x)的符号与

lim

x→+∞

n

k＝0

(ak)/(xn−k)一致的
又

lim

x→+∞

n

k＝0

(ak)/(xn−k)＝an
而a₀a_n＜0
∴f(0)•

lim

x→+∞

f(x)＜0
∴方程f（x）=0在（0，+∞）上至少有一根