已知Q2=x2+y22称为x，y的二维平方平均数，A2=x+y2称为x，y的二维算术平均数，G2=xy称为x，y的二维几何平均数，H2=21x+1y称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数．（Ⅰ）试判断G2与H2的大小

Question

已知Q₂=√((x2+y2)/(2))称为x，y的二维平方平均数，A₂=(x+y)/(2)称为x，y的二维算术平均数，G₂=√(xy)称为x，y的二维几何平均数，H₂=(2)/((1)/(x)+(1)/(y))称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数．
（Ⅰ）试判断G₂与H₂的大小，并证明你的猜想．
（Ⅱ）令M=A₂-G₂，N=G₂-H₂，试判断M与N的大小，并证明你的猜想．
（Ⅲ）令M=A₂-G₂，N=G₂-H₂，P=Q₂-A₂，试判断M、N、P三者之间的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

（I）G₂≥H₂，采用分析法．
欲证G₂≥H₂，
即证√(xy)≥(2xy)/(x+y)，
即证1≥(2√(xy))/(x+y)，
即证x+y≥2√(xy)，
上式显然成立，
所以G₂≥H₂；…3’
（II）M≥N．
欲证M≥N，
即证(x+y)/(2)+(2xy)/(x+y)≥2√(xy)，
由均值不等式可得：(x+y)/(2)+(2xy)/(x+y)≥2√((x+y)/(2)•(2xy)/(x+y))＝2√(xy)，等号成立的条件是x=y，
所以原命题成立…6’
（III）M≥P≥N．
首先证明M≥P：
欲证M≥P，
即证x+y≥√(xy)+

作业帮用户 2016-11-19

问题解析

先猜想结论，再分析使结论成立的充分条件，一直分析到使猜想成立的充分条件显然具备，从而猜想得证．

名师点评

本题考点：

综合法与分析法(选修）；归纳推理．

考点点评：

本题主要考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．

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