（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4=22+222，2007=22+122+222+8624，2008=322+502+5023，4，2007，2008都是“好整数”，记“好整数”的集合

Question

（1）一个正整数如果能表示为若干个正整数平方的算术平均值，就称这个正整数为“好整数”，如4=(22+22)/(2)，2007=(22+122+222+862)/(4)，2008=(322+502+502)/(3)，4，2007，2008都是“好整数”，记“好整数”的集合为M，正整数的集合为N⁺，求证：M=N⁺．
（2）记a=1²+2²+3²+…+2012²+2013²，求证：a可以写成2012个不同的正整数的平方和．

Answer 1

（1）证明：因为每个“好整数”都是正整数，所以M⊆N⁺；
另一方面，对每个n∈N⁺，都有n=(n2+12+12+…+12)/(n+1)，
所以n是“好整数”，即n∈M，
所以N⁺⊆M，
因此M=N⁺；
（2）证明：只需从1²至2013²中去掉两个，
根据勾股定理，换上一个大于2013²的数，
∵2000²=4²×500²，3²+4²=5²，
∴3²×500²+4²×500²=5²×500²，
即1500²+2000²=2500²，
因此从a中去掉1500²和2000²，添加2500²，
即将a写成了2012个不同的正整数的平方和．