已知函数f(x)=|x-a|，(Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

Question

已知函数f(x)=|x-a|，
(Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)由f(x)≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
所以 ，解得a=2．
(Ⅱ)当a=2时，f(x)=|x-2|，
设g(x)=f(x)+f(x+5)，
于是g(x)=|x-2|+|x+3|= ，
所以当x＜-3时，g(x)＞5；
当-3≤x≤2时，g(x)=5；
当x＞2时，g(x)＞5；
综上可得，g(x)的最小值为5，
从而，若f(x)+f(x+5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-∞，5]。