设是两个互相垂直的单位向量，已知向量且向量，（1）求f（k）的表达式．（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：．

Question

设 是两个互相垂直的单位向量，已知向量 且向量 ，
（1）求f（k）的表达式．
（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．
（3）在（1）的条件下解关于k的不等式： ．

Answer 1

分析：
（1）由，可求=2k，=，，代入f（k）=cosθ=可求（2）由1+2k2≥2k可得f（k）∈（0，1]结合θ=60°可知cosθ=，可求k（3）由（1）可得f[f（k）]==?，k＞0，分类讨论：分a＞0时，当a=0时，当a＜0时，三种情况分别求解

（1）∵∴，∵∴==2k∵=，同理可得  ∴f（k）=cosθ==（k＞0）…（4分）（2）因为1+2k2≥2k当且仅当k=1时等号成立所以f（k）∈（0，1]，当θ=60°时，cosθ=∴  （8分）（3）由（1）可得f[f（k）]=f（）==?4k3+4k＜-3ak2+（4+a2）k?k（4k2+3ak-a2）＜0?，∵k＞0当a＞0时，解可得0＜k＜当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在当a＜0时，解为0＜k＜-a综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜}；当a=0时，解集为?当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）
点评：
本题主要考查了向量的数量积的应用，向量夹角公式的应用，及不等式的求解，属于综合试题