线性代数的问题问λ为何值时,线性方程组a+c=λ4a+b+2c=λ+26a+b+4c=2λ+3有解,并求出解的一般形式

Question

线性代数的问题
问λ为何值时,线性方程组a+c=λ
4a+b+2c=λ+2
6a+b+4c=2λ+3 有解,并求出解的一般形式

Answer 1

线性方程解的一般性条件：
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,等于未知数的个数时,有唯一解；
系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,小于未知数的个数时,有无数解；
系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时无解.
本题中：系数矩阵
1,0,1
4,1,2
6,1,4
行列式为0,二阶子矩阵行列式不为0,所以秩为2；
增广矩阵
1,0,1,λ
4,1,2,λ+2
6,1,4,2λ+3
λ=1时,增广矩阵的秩为2,此时方程有无数解；
λ不等于1时,无解.
解的一般形式：先求对应其次线性方程组的通
a+c=0
4a+b+2c=0
6a+b+4c=0
X=k*（1,-2,-1）
再求一个特
a=1,b=-1,c=0
所以一般解为
X=k*(1,-2,-1)+(1,-1,0)