设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)在区间[−π6,π3]上的值域;(Ⅲ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移
设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[−,]上的值域;
(Ⅲ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.
答案和解析
(Ⅰ)f(x)=(sinωx+cosωx)
2+2cos
2ωx
=sin
2ωx+cos
2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx…(2分)
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
sin(2ωx+)+2,
依题意得=,
故ω的值为. …(5分)
(Ⅱ)∵−≤x≤,
∴−≤3x+≤,…(6分
∴−1≤sin(3x+)≤…(8分),
∴1≤f(x)≤2+,
即f(x)的值域为[1,2+]…(9分)
(Ⅲ)依题意得:g(x)=sin[3(x-)+]+2
=sin(3x-)+2 …(11分)
由2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,…(12分)
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
故y=g(x)的单调增区间为:[kπ+,kπ+],(k∈Z),…(13分)
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