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设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)在区间[−π6,π3]上的值域;(Ⅲ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移
题目详情
设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为
.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[−
,
]上的值域;
(Ⅲ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移
个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.
2π |
3 |
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[−
π |
6 |
π |
3 |
(Ⅲ)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移
π |
2 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx…(2分)
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
sin(2ωx+
)+2,
依题意得
=
,
故ω的值为
. …(5分)
(Ⅱ)∵−
≤x≤
,
∴−
≤3x+
≤
,…(6分
∴−1≤
sin(3x+
)≤
…(8分),
∴1≤f(x)≤2+
,
即f(x)的值域为[1,2+
]…(9分)
(Ⅲ)依题意得:g(x)=
sin[3(x-
)+
]+2
=
sin(3x-
)+2 …(11分)
由2kπ-
≤3x-
≤2kπ+
,k∈Z,…(12分)
解得
kπ+
≤x≤
kπ+
,k∈Z,
故y=g(x)的单调增区间为:[
kπ+
,
kπ+
],(k∈Z),…(13分)
=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx…(2分)
=sin2ωx+cos2ωx+2
=
2 |
π |
4 |
依题意得
2π |
2ω |
2π |
3 |
故ω的值为
3 |
2 |
(Ⅱ)∵−
π |
6 |
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3 |
∴−
π |
4 |
π |
4 |
5π |
4 |
∴−1≤
2 |
π |
4 |
2 |
∴1≤f(x)≤2+
2 |
即f(x)的值域为[1,2+
2 |
(Ⅲ)依题意得:g(x)=
2 |
π |
2 |
π |
4 |
=
2 |
5π |
4 |
由2kπ-
π |
2 |
5π |
4 |
π |
2 |
解得
2 |
3 |
π |
4 |
2 |
3 |
7π |
12 |
故y=g(x)的单调增区间为:[
2 |
3 |
π |
4 |
2 |
3 |
7π |
12 |
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