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如图,点A在反比例函数y=6x图象第一象限的分支上,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,顶点C在第四象限,AC与x轴交于点D,若△OAD与△BCD的面积相等,则点A的横

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如图,点A在反比例函数y=

6
x
图象第一象限的分支上,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,顶点C在第四象限,AC与x轴交于点D,若△OAD与△BCD的面积相等,则点A的横坐标是(  )
作业帮

A.

3

B. 2

C.

6

D. 2

3

▼优质解答
答案和解析
作业帮 连接OC,分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点,CE交x轴于F点,如图:
由反比例的性质可知,A、B两点关于中心O对称,即OA=OB,
又∵△ACB为等腰直角三角形,
∴CO⊥AB,且OC=OA.设直线AB的解析式为y=ax(a>0),则OC的解析式为y=-
1
a
x,
设点A(m,am),点C(an,-n),
∵OA=OC,即m2+(am)2=(an)2+n2
解得n=±m,
∵A在第一象限,C在第三象限,
∴n=m>0,
即C(am,-m).
∵AE∥x轴,CE∥y轴,
∴∠CDF=∠CAE,∠CFD=∠CEA=90°,
∴△CDF∽△CAE,
CF
CE
=
CD
CA

又∵△OAD与△BCD的面积相等,△OAD与△BOD的面积相等,
∴S△ABD=2S△BCD
AD
CD
=2,
∵AC=AD+CD,
CF
CE
=
CD
CA
=
1
3

∵点A(m,am),点C(am,-m),
∴点E(am,am),点F(am,0),
CF
CE
=
0-(-m)
am-(-m)
=
1
a+1
=
1
3

即a=2.
∵点A(m,am)在反比例函数y=
6
x
的图象上,且a=2,
∴2m2=6,解得m=±
3

∵m>0,
∴m=
3

∴点A的横坐标是
3

故选A.