如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上，一边EN在x

Question

如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若矩形EFMN的顶点F、M在位于x轴上方的抛物线上，一边EN在x轴上（如图2）．设点E的坐标为（x，0），矩形EFMN的周长为L，求L的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）的前提下（即当L取得最大值时），在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△PMN沿直线PN折叠后，点M刚好落在y轴上？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可设抛物线为y=a（x+1）（x-3），
抛物线过点（0，3），
∴3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3），
即：y=-x²+2x+3；

（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线x=1，
∵E（x，0），
∴F（x，-x²+2x+3），EN=2（1-x），
∴L=2EN+2EF=4（1-x）+2（-x²+2x+3），
化简得  l=-2x²+10，
∵-2＜0，
∴当x=0时，L取得最大值是10，
此时点E的坐标是（0，0）；

（3）由（2）得：E（0，0），F（0，3），M（2，3），N（2，0），
设存在满足条件的点P（1，y），
并设折叠后点M的对应点为M₁，
∴∠NPM=∠NPM₁=90°，PM=PM₁，
PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
∵∠NPM=90°，
∴PM²+PN²=MN²，
∴（3-y）²+1²+y²+1²=3²，
解得：）时，点M₁也在y轴上，
故存在满足条件的点P，点P的坐标为（1，）或（1，）．