假设一个圆的半径为R,在圆中任意取两个点,记两点之间的距离为A.问：在多次重复之后,A的平均值是多少圆内，包括圆上我也怀疑他符合某个特殊分布，但没法证明......

Question

假设一个圆的半径为R,在圆中任意取两个点,记两点之间的距离为A.问：在多次重复之后,A的平均值是多少
圆内，包括圆上
我也怀疑他符合某个特殊分布，但没法证明......

Answer 1

给个思路：设圆的方程为x^2+y^2=R^2,两点坐标为(X1,Y1)、(X2,Y2),则(X1,Y1)、(X2,Y2)相互独立,且都服从x^2+y^2≤R^2上的均匀分布
E(A)=E{√[(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2]}
=1/(π^2*R^4)*∫∫∫∫D√[(X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2]dx1dx2dy1dy2
D为x1^2+y1^2≤R^2,x2^2+y2^2≤R^2