一个数仅由0和至少两个1组成,问这个数可不可能是完全平方数偶然想到的一个问题,不知道这个数到底是不是完全平方数

Question

一个数仅由0和至少两个1组成,问这个数可不可能是完全平方数
偶然想到的一个问题,不知道这个数到底是不是完全平方数

Answer 1

设由一个0和至少两个1组成的数为x,下面证明x不可能是完全平方数.①假设0在x的个位,x的其它位为1；如果x是完全平方数,那么x的平方根的个位也一定是0,但是个位为0的数平方后末两位均为0,也就是说个位为0的数平方后至少有两个0,所以x的个位不能为0,只能为1；②由以上所述可知,x可拆为两个数,一个为b=55...505...55(0前n≥1个5,0后m≥1个5,m、n均为整数),一个为a=55...505...56,这两个数除个位不同外,其它位完全相同,而且这两个数相差1,即a+b=x,a-b=1；所以x=a+b=(a+b)(a-b)=a∧2-b∧2,假定x为完全平方数,即x=a∧2-b∧2=m∧2①,m为正整数,那么a∧2=b∧2+m∧2,由于a为偶数、b为奇数,所以a∧2 为偶数、b∧2为奇数,所以m∧2 为奇数,m为奇数；设a=2w、b=2p+1、m=2q+1,w、p、q为整数,a∧2=(2w)∧2=4w∧2,所以4能整除a∧2；b∧2+m∧2=(2p+1)∧2+(2q+1)∧2=4[(p∧2+q∧2)+(p+q)]+2,所以4不能整除b∧2+m∧2,所以满足①式的m不存在,即x不可能是完全平方数(证毕).