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设P=X4+6X3+11X2+3X+31.求使P为完全平方数的整数X的值.
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设P=X4+6X3+11X2+3X+31.求使P为完全平方数的整数X的值.
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答案和解析
∵（x＋1）^4＝x^4＋4x^3＋6x^2＋4x＋1＝（x^2＋2x＋1）^2,
∴P＝（x^2＋2x＋1）^2＋2x^3＋5x^2－x＋30
＝（x^2＋2x＋1）^2＋2x^3＋4x^2＋2x＋x^2－3x＋30
＝（x^2＋2x＋1）^2＋2x（x^2＋2x＋1）＋x^2－3（x－10）
＝［（x^2＋2x＋1）＋x］^2－3（x－10）
显然,当x＝10时,－3（x－10）＝0,P＝（100＋30＋1）^2＝131^2＝17161.
∴满足条件的x的值为10.
∴P＝（x^2＋2x＋1）^2＋2x^3＋5x^2－x＋30
＝（x^2＋2x＋1）^2＋2x^3＋4x^2＋2x＋x^2－3x＋30
＝（x^2＋2x＋1）^2＋2x（x^2＋2x＋1）＋x^2－3（x－10）
＝［（x^2＋2x＋1）＋x］^2－3（x－10）
显然,当x＝10时,－3（x－10）＝0,P＝（100＋30＋1）^2＝131^2＝17161.
∴满足条件的x的值为10.
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