若整系数二次三项式f(x)=x²+bx+c,当x=0,x=1的值均为奇数,求证方程f(x)=0没整数根.

Question

若整系数二次三项式f(x)=x²+bx+c,当x=0,x=1的值均为奇数,求证方程f(x)=0没
整数根.

Answer 1

f(0)=c,c为奇数,
f(1)=1+b+c=b+(1+c)为奇数,
∴b为奇数,
∴当X为奇数时,f(X)=奇数≠0,
当X为偶数时,f(X)=奇数≠0,
∴f(X)=0没有整数解.