求高数高人解惑,五个初等函数迈克劳林的展开式,它们是以x等于零得到的,尤其是正弦和余弦展开式,一旦脱离零的基础,当x很大的时候,个人感觉正弦余弦展开式就不管用了,如果这样,那么就肯

Question

求高数高人解惑,五个初等函数迈克劳林的展开式,它们是以x等于零得到的,尤其是正弦和余弦展开式,一旦脱离零的基础,当x很大的时候,个人感觉正弦余弦展开式就不管用了,如果这样,那么就肯定不能用正弦与余弦和e之间迈克劳林展开式关系得到欧拉公式.那么欧拉公式岂不是有问题?可能是我的书介绍不全吧,唉,感觉高数后面太乱了.习题完全是为了公式而存在的,一堆公式里面一般只有一个能轻松解出答案,其余的要么不管用,要么计算过程让人感觉恶心.是不是偶高数没学到家?
这个e展开式倒是能理解，主要就是正弦余弦

Answer 1

正弦,余弦,e^x的展开式中的x是可以为任意数的.这主要是因为每一项中阶乘n!的增长远比x^n来得快,因此无论x多大,最终都收敛.
另外,展开式可以不以0为基础,可以用任意数为基础.比如展开成(x-a)^n
e^x=e^(x-a+a)=e^a *e^(x-a)=e^a[1+(x-a)+(x-a)^2/2!+...(x-a)^n/n!+.],
也同样是关于任意x都收敛的.