如何判断一个幂级数的和函数是否为初等函数?如果一个幂级数不是任何基本初等函数的展开式,如何判断它是否为初等函数?如S(x)=1+x+2x^2+3x^3+4x^4+……+nx^n+……是否为初等函数?

Question

如何判断一个幂级数的和函数是否为初等函数?
如果一个幂级数不是任何基本初等函数的展开式,如何判断它是否为初等函数?
如S(x)=1+x+2x^2+3x^3+4x^4+……+nx^n+……是否为初等函数?

Answer 1

这个应该没有什么通用的判断方法（随便拿两个初等函数一乘,再展开,结果就超级难看）,只能靠多做题,找感觉了吧,熟悉就好了.
比如LZ说的那个S(x),注意到
(1-x)^(-1) = 1+x+x^2+x^3+...
(1-x)^(-2) = (1+x+x^2+...)^2
= 1+2x+3x^2+4x^3+...
凑一下,可以看出来S(x) = 1 - (1-x)^(-1) + (1-x)^(-2), 是初等函数,我在这就不化简了.
要说技巧的话,就是把基本的展开式背熟,比如 ln, sin, cos, (1+x)^α, 然后去凑一凑吧...