在平面几何的学习过程中，我们经常会研究角和线之间的关系．（1）如图①，直线a、b被直线c所截，交点分别为A、B．当∠1、∠2满足数量关系时，a∥b；（2）如图②，在（1）中，作射线B

Question

在平面几何的学习过程中，我们经常会研究角和线之间的关系．

（1）如图①，直线a、b被直线c所截，交点分别为A、B．当∠1、∠2满足数量关系___时，a∥b；
（2）如图②，在（1）中，作射线BC，与直线a的交点为C，当∠3、∠4满足何种数量关系时，AB=AC？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）中，若∠BAC=90°，AB=2， I为△ABC的内切圆．
①求 I的半径；
②P为直线a上一点，若 I上存在两个点M、N，使∠MPN=60°，直接写出AP长度的取值范围．

Answer 1

（1）∠1+∠2=180°，
故答案为：∠1+∠2=180°；

（2）当∠3=∠4时，AB=AC，
证明：∵a∥b，
∴∠ACB=∠4，
又∵∠3=∠4，
∴∠ACB=∠3，
∴AB=AC；

（3）①由（2）得AB=AC，
又∵∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴AC=2．
∴在Rt△ABC中，BC=√(AB2+AC2)=2√(2)．
设D、E、F分别为边AB、BC、AC上的切点，
连接ID、IE、IF，
∵ I为△ABC的内切圆，
∴ID⊥AB、IE⊥BC、IF⊥AC．
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．
∵∠BAC=90°，
∴四边形ADIF是矩形．
∵ID=IF，
∴矩形ADIF是正方形．
∴r=AD=(AB+AC-BC)/(2)=2-√(2)．
∴ I的半径为2-√(2)；
②当点P在射线AC上时，0≤AP≤2√(3)-√(6)+2-√(2)，
当点P在射线AC的反向延长线上时，0≤AP≤2√(3)-√(6)-2+√(2)．