在△PAB中A1∈PA，B1∈PB，如图（1）所示，则△PA1B1和△PAB具有面积关系S△PA1B1S△PAB=PA1•PB1PA•PB在平面几何中该关系式已经证明是成立的．请你在三棱锥P-ABC中（图2）写出一个类似的正确

Question

在△PAB中A₁∈PA，B₁∈PB，如图（1）所示，则△PA₁B₁和△PAB具有面积关系(S△PA1B1)/(S△PAB)=(PA1•PB1)/(PA•PB)在平面几何中该关系式已经证明是成立的．请你在三棱锥P-ABC中（图2）写出一个类似的正确结论；并给予证明．

Answer 1

结论：在三棱锥P-ABC中，A₁∈PA，B₁∈PB，C₁∈PC，则两三棱锥P-A₁B₁C₁和P-ABC体积具有关系式：
(VP−A1B1C1)/(VP−ABC)＝(PA1•PB1•PC1)/(PA•PB•PC)．…
如图（2）
证明：过B₁作B₁H₁⊥面PAC于H₁，过B作BH⊥面PAC于H，则B₁H₁∥BH，
则点B，B₁，P，H₁，H共面，易证：点P，H₁，H三点共线．
因为△B₁PH₁∽△BPH，所以(B1H1)/(BH)＝(PB1)/(PB)                                           
由平面几何可知：(S△PA1C1)/(S△PAC)＝(PA1⋅PC1)/(PA⋅PC)，
(VP−A1B1C1)/(VP−ABC)＝(VB1−PA1C1)/(VB−PAC)＝((1)/(3)S△PA1C1⋅B1H1)/((1)/(3)S△PAC⋅BH)＝(PA1⋅PB1⋅PC1)/(PA⋅PB⋅PC)