已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则OA/AA/+OB/BB/+OC/CC/＝1，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：OA/AA/+OB/BB/+OC/CC/＝S△OBCS△ABC+S△OCA

Question

已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则(OA/)/(AA/)+(OB/)/(BB/)+(OC/)/(CC/)＝1，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法”：(OA/)/(AA/)+(OB/)/(BB/)+(OC/)/(CC/)＝(S△OBC)/(S△ABC)+(S△OCA)/(S△ABC)+(S△OAB)/(S△ABC)＝(S△ABC)/(S△ABC)＝1．运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题？并用“体积法”证明．

Answer 1

猜想：若O四面体ABCD内任意点，AO，BO，CO，DO并延长交对面于A′，B′，C′，D′，则(OA/)/(AA/)+(OB/)/(BB/)+(OC/)/(CC/)+(OD/)/(DD/)＝1．
用“体积法”证明如下：(OA/)/(AA/)+(OB/)/(BB/)+(OC/)/(CC/)+(OD/)/(DD/)
=(VO−BCD)/(VA−BCD)+(VO−CAD)/(VB−CDA)+(VO−ABD)/(VC−ABD)+(VO−ABC)/(VD−ABC)
=(VABCD)/(VABCD)=1