一道立体几何题求解将∠B=60度,边长为1的菱形ABCD沿对角线折成2面角r.若r∈[60度,120度]则折后的两条对角线之间的距离的最直为多少?

Question

一道立体几何题求解
将∠B=60度,边长为1的菱形ABCD沿对角线折成2面角r.若r∈[60度,120度]则折后的两条对角线之间的距离的最直为多少?

Answer 1

我n年没看过立体几何了
不过这题简单
对折前可以连接AC和BD,设交点为O.
则AO垂直于AC,BO垂直于AC,对折后依然是这样.
那么2面角的平面角即为∠BOD了.
对折后两对角线AC和BD异面.而在三角形BOD中,过O作BD的垂线OE.
因为AC同时垂直于相交的两条线AO和BO,所以AC垂直于面BOD,所以AC垂直于
直线OE.
所以,OE即为异面直线AC和BD的距离.
要求OE就简单了,只需要在三角形BOD中利用平面几何知识即可.
因为∠B=60,即三角形ABC是正三角形,易求BO=√3/2=AO.
由于r∈[60度,120度],即∠BOD∈[60度,120度],
那么∠BOE=r/2∈[30度,60度],OE=OB*cosr/2∈∈[√3/4,3/4]
最小距离为√3/4,当r为120度时；
最大距离为3/4,当r为60度时.
答毕