求高手解决这条一阶积分方程,已知:sinxdy-ylnydx=0.初始条件y=(π/2)=e求此题可分离变量型的方程

Question

求高手解决这条一阶积分方程,
已知 :sin x dy- ylnydx=0.初始条件y=( π/2)=e
求此题可分离变量型的方程

Answer 1

sin x dy- ylnydx=0
sinxdy=ylnydx
1/(ylny) dy=1/sinx dx
两边同时积分得
∫1/(ylny) dy=∫1/sinx dx
∫1/lny d(lny)=∫cscdx 【∫cscdx=ln|tan(x/2)|+C,这个高数后的积分表有】
ln|lny|=ln|tan(x/2)|+C
将y(x=π/2)=e代入得
ln|lne|=ln|tan(π/4)|+C
解得C=0
所以ln|lny|=ln|tan(π/4)|
lny=tan(π/4)
y=e^[tan(π/4)]