不定积分∫x(√3-x^2)dx=?∫x(√3-x^2)dx=?答案是-1/3（3-x^2)^(3/2)+c我算出来明明是(x^2)/3(3-x^2)^(3/2)+c我是哪里做错嘞?

Question

不定积分∫x(√3-x^2)dx=?
∫x(√3-x^2)dx=?
答案是-1/3（3-x^2)^(3/2)+c
我算出来明明是(x^2)/3(3-x^2)^(3/2)+c
我是哪里做错嘞?

Answer 1

∫ x(√3-x^2)dx = ∫ (3-x^2)^(1/2) * x dx
令 u = 3-x^2,du = - 2x dx 换元法,
原式 = (-1/2) ∫ u^(1/2) du = (-1/2) * (2/3) * u^(3/2) + C
= (-1/3) * (3-x^2)^(3/2) + C
在换元过程中,不仅被积函数要变化,积分变量也要用新的变量表示.