已知函数f（x）=12x2-alnx+（a-1）x，a∈R（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（3）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，

Question

已知函数f（x）=(1)/(2)x²-alnx+（a-1）x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂有(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）函数f（x）=(1)/(2)x²-alnx+（a-1）x，
f′（x）=x-(a)/(x)+（a-1）=((x−1)(x+a))/(x)（x＞0）
当a=1时，f′（x）=((x−1)(x+1))/(x)，f′（1）=0，
则所求的切线方程为：y-f（1）=0（x-1），
即y=(1)/(2)；
（2）①当-a=1，即a=-1时，f′（x）=((x−1)2)/(x)≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当-a＜1，即-1＜a＜0时，
由0＜x＜-a，或x＞1时，f′（x）＞0，-a＜x＜1时，f′（x）＜0．
则f（x）在（0，-a），（1，+∞）单调递增，在（-a，1）上单调递减；
③当-a＞1，即a＜-1时，
由0＜x＜1或x＞-a时，f′（x）＞0；1＜x＜-a时，f′（x）＜0，
f（x）在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减；
（3）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x₁＜x₂．
由(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)＞a知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=(1)/(2)x²-aln x-x，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则g′（x）=x-(a)/(x)-1≥0，
即a≤x²-x=（x-(1)/(2)）²-(1)/(4)在（0，+∞）上恒成立．，则a≤-(1)/(4)，
故存在这样的实数a满足题意，其范围为（-∞，-(1)/(4)]．