哈雷彗星轨道长度的高精度计算哈雷彗星的运动轨迹是椭圆，长半轴（表示从地球到太阳的距离），短半轴，试分别利用辛普森法、将被积函数用泰勒多项式近似后再进行逐项积分的方法

Question

哈雷彗星轨道长度的高精度计算
哈雷彗星的运动轨迹是椭圆，长半轴 （ 表示从地球到太阳的距离），短半轴 ，试分别利用辛普森法、将被积函数用泰勒多项式近似后再进行逐项积分的方法以及数学软件的方法进行了近似计算其轨道长度，精度为 .

Answer 1

哈雷慧星
（Halley's comet)第一颗经推算预言必将重新出现而得到证实的著名大彗星。当它在1682年出现后，英国天文学家哈雷注意到它的轨道与1607年和1531年出现的彗星轨道相似，认为是同一颗彗星的三次出现，并预言它将在1758年底或1759年初再度出现。虽然哈雷死于1742年，没能看到它的重新出现，但在1759年它果然又回来，这是天文学史上一个惊人成就。这颗彗星因而命名为哈雷彗星。它的公转周期为76年，近日距为8,800万公里（0.59天文单位），远日距为53亿公里（35.31天文单位），轨道偏心率为0.967。
英国天文学家哈雷（与牛顿同时）曾因预测他在1682年观测过的一颗彗星应在1758年重返再现而扬名．他的预见系根据他所推导的彗星轨道和该彗星以前曾经在与此轨道相符合的时刻出现过这一事实．他列举出1607，1531，1465和1305等年份的彗星来证明它们其实是以75或76年为周期通过地球的同一颗彗星．在1758年的圣诞节，哈雷所预见的彗星果真重现于天空（后来，这颗彗星便命名为哈雷彗星），可惜这时他已去逝，未能亲眼看到他的预见被证实． 周期彗星在一个偏心率往往很高的椭圆轨道上围绕太阳运转．比如，哈雷彗星的近日距为0.6天文单位，而远日距竞达35天文单位．由于所有的彗星运动都遵从开普勒三定律， 所以彗星的运动在近日点时肯定比在远日点时快．对于轨道偏心率很高的彗星，我们只能看到它运行的极小部分，因为它一行至距太阳很远的地方就变得很暗，甚至用望远镜也看不见了．既然这种轨道偏心率很高的彗星在一周期内仅有很短的时间才能观测，故它们的轨道计算是格外困难的．我们不妨以哈雷彗星的轨道为例，它时而行至金星轨道之内，时而又越出海王星轨道之外． 许多周期彗星的轨道偏心率都不及哈雷彗星的高．比如恩克彗星的近日距为0.3天文单位，而远日距仅有4.1天文单位，其周期为3.3年，是目前所知周期最短的彗星．史瓦兹曼—瓦赫曼彗星的轨道位于木星与土星两者的轨道之间，因而每年都可观测到它．
哈雷彗星的原始质量估计小于10万亿吨。如取近似值，彗核平均密度为每立方厘米1克，则彗核半径应小于15公里。估计它每公转一圈，质量减少约20亿吨，这只是其总质量的很小一部分，因此它还会存在很久。
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