用定积分计算曲线面积比如圆的面积,计算出的极限值到底是精确的还是一个近似值?

Question

用定积分计算曲线面积 比如圆的面积,计算出的极限值到底是精确的还是一个近似值?

Answer 1

这是一个好问题!
长度,面积与体积本是物理上的概念,对任何物体理论上我们可以测量它的体积,表面积,或物体上某两点之间的长度(定义为连接这两点且在物体表面的最短的线段的长度).
圆,三角形等几何体是抽象出来的数学对象(现实世界并不存在真正的圆,或三角形等等,我们世界上的物理实体都是三维的(至少对于现在人类的认识水平),即使是最薄的薄膜也是有厚度的,即使是原子核也不是一个点,它也是有结构的))
这些 圆啊,三角形啊,某种曲线啊,之类的严格来说只存在于数学世界中,所以对于它们的所谓面积,长度等也需要给一个严格的数学上的定义,这就是曲线积分与曲面积分,或体积分
所以说
定积分计算 比如圆的面积（公式(pi)r^2就是这么来的） 是精确地 数学意义上的面积 （因为定义即使如此） 它是现实世界中的'圆'的近似,或者更恰当的说 对现实世界的'圆'的物理测量值（由于误差,它是一个随机的量）是数学定义中的那个值得近似.