如何求y=1+xe^y的二阶导数d2y/dx2

Question

如何求y=1+xe^y的二阶导数d2y/dx2

Answer 1

y=1+xe^y (1) //: 两边对x求导
y'=e^y+xy'e^y (2)
y'(1-xe^y)=e^y (3)
y'=e^y/(1-e^y) (4)
将(2)式整理成：
y'=(1+xy')e^y (5) //: 再对两边求导一次
y''=(1+xy')'e^y+y'(1+xy')e^y (6)
y''=(y'+xy'')e^y+(1+xy')y'e^y //: 整理并解出：
y''=(2+xy')y'e^y/(1-xe^y) (7) //: 将(4)代入,最后得到：
y''=[2+(x-2)e^y]e^(2y)/(1-e^y)^2 (8)