二阶偏导数z^3-3xyz=1求(dz)^2/dxdy

Question

二阶偏导数 z^3-3xyz=1求(dz)^2/dxdy

Answer 1

以下d为偏导符号
两边对x求偏导：3z^2*(dz/dx)-3yz-3xy(dz/dx)=0 (1)
解得：dz/dx=yz/(z^2+xy)
原式两边对y求偏导：3z^2*(dz/dy)-3xz-3xy(dz/dy)=0
解得：dz/dy=xz/(z^2+xy)
(1)两边对y求偏导：6z*(dz/dy)(dz/dx)+3z^2*(d^2z/dxdy)-3z-3y(dz/dy)-3x(dz/dx)-3xy(d^2z/dxdy)=0
将dz/dx,dz/dy代入得：
6z*(xz/(z^2+xy)(yz/(z^2+xy))+3z^2*(d^2z/dxdy)-3z-3y(xz/(z^2+xy))-3x(yz/(z^2+xy))-3xy(d^2z/dxdy)=0
最后就是整理工作了
d^2z/dxdy=2xyz^3/[(z^2+xy)^2*(z^2-xy)]-z/(z^2-xy)-2xyz/(z^4-x^2y^2)