数学复合函数求原函数,如果内函数是二次函数怎么求?例如∫1~2（√1+x²）dx=?

Question

数学复合函数求原函数,如果内函数是二次函数怎么求?
例如∫1~2（√1+x²）dx=?

Answer 1

一般用三角代换法
令x=tanu,u∈(-π/2,π/2)
则dx=sec²udu
代入原式得：
∫secu sec²udu
=∫sin^3udu/cos^3u
=-∫d(cosu)(1-cos²u)/cos^3u
=-∫d(cosu)[1/cos^3u-1/cosu]
=1/(2cos²u)+lncosu+C
=(1+x²)/2-(1/2)ln(1+x²)+C