已知函数f（x）=-13x3+x2+b，g（x）=x+ax2+1，其中x∈R（I）当b=23时，若函数F(x)=f(x)(x≤2)g(x)(x＞2)为R上的连续函数，求F（x）

Question

已知函数f（x）=- (1)/(3) x ³ +x ² +b，g（x）= (x+a)/(x2 +1) ，其中x∈R
（I）当 b=(2)/(3) 时，若函数 F(x)=

f(x)(x≤2)

g(x)(x＞2)

为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x ₁ ，x ₂ ∈[1，2]，不等式g（x ₁ ）＜f（x ₂ ）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（I）当 b=(2)/(3) 时，函数F（x）为R上的连续函数，
∴

lim

x→ 2 +

g(x)=(2+a)/(5) =f(2)=2
∴a=8
∵f′（x）=-x ² +2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴当x≤2时，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增．
又 g(x)=(x+8)/(x2 +1) ， g ′ (x)=(- x2 -16x+1)/(( x2 +1)2)
当x∈（2，+∞时，g′（x）＜0恒成立，
∴当x＞2时，函数g（x）在（2，+∞）上单调递减．
综上可知，函数F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）对任意x ₁ ，x ₂ ∈[-1，2]，f（x ₁ ）＜f（x ₂ ）恒成立
g（x） _max ＜f（x） _min ，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴ g(x)=(x-1)/(x2 +1)
此时g′（x）＞0即-x ² +2x+1＞0
∴ 1-

2

＜x＜1+

2

当x∈[-1，2]时，函数g（x）在[-1，1-

2

]上单调递减，在 [1-

2

，2] 上单调递增．
而 g(-1)=-1，g(2)=(1)/(5)
∴当x∈[-1，2]时，函数g（x）的最大值为 g(2)=(1)/(5) ．
结合（I）中函数f（x）的单调性可知：当x∈[-1，2]时，f（x） _min =f（0）=b
∴g（x） _max ＜f（x） _min
∴ b＞(1)/(5)
即实数b的取值范围为b ∈((1)/(5) ，+∞)