设函数f（x）在x=0处连续,f（0）=0,且对任意的x、y都有f（x+y)=f(x)+f(y),)(试证明：f（x）为R上的连续函数

Question

设函数f（x）在x=0处连续,f（0）=0,且对任意的x、y都有f（x+y)=f(x)+f(y),) (
试证明：f（x）为R上的连续函数

Answer 1

令x=y=0知道f(0)=0；
对任意的x,考虑当dx趋于0时,f(x+dx)的极限是否是f(x)即可.
因为lim f(x+dx)
=lim f(x)+f(dx)
=lim f(x)+lim f(dx) （*）
=f(x)+f(0)
=f(x)
其中(*)式是因为f(x)在x=0连续,于是lim f(dx)=f(0)=0