设y=y（x）是由方程y2+xy+x2=0确定的满足y（1）=-1的连续函数，则limx→1(x−1)2y(x)+1=．

Question

设y=y（x）是由方程y²+xy+x²=0确定的满足y（1）=-1的连续函数，则

lim

x→1

((x−1)2)/(y(x)+1)=______．

Answer 1

因为y=y（x）是由方程y²+xy+x²=0确定的满足y（1）=-1的连续函数，
所以

lim

x→1

(y(x)+1)＝y(1)+1＝0，
2yy′（x）+y+xy′（x）+2x=0⇒y′（x）=−(2x+y)/(x+2y)．
利用洛必达法则计算可得，

lim

x→1

((x−1)2)/(y(x)+1)
=

lim

x→1

(2(x−1))/(y′(x))
=

lim

x→1

(2(x−1))/(−(2x+y)/(x+2y)) 
=0．
故答案为：0．