如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求CEEB；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．

（1）若DE∥平面A₁MC₁，求(CE)/(EB)；
（2）求直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值．

Answer 1

（1）取BC中点N，连结MN，C₁N，…（1分）
∵M，N分别为AB，CB中点
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，…（3分）
且平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N，
又DE∩平面BCC₁B₁，
且DE∥平面A₁MC₁，∴DE∥C₁N，
∵D为CC₁的中点，∴E是CN的中点，…（5分）
∴(CE)/(EB)=(1)/(3)．…（6分）
（2）连结B₁M，…（7分）
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，即四边形ABB₁A₁为矩形，且AB=2AA₁，
∵M是AB的中点，∴B₁M⊥A₁M，
又A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁⊥B₁M，从而B₁M⊥平面A₁MC₁，…（9分）
∴MC₁是B₁C₁在平面A₁MC₁内的射影，
∴B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角为∠B₁C₁M，
又B₁C₁∥BC，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成的角即B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角…（10分）
设AB=2AA₁=2，且三角形A₁MC₁是等腰三角形
∴A1M=A1C1=√(2)，则MC₁=2，B1C1=√(6)，
∴cos∠B1C1M=(MC1)/(B1C1)=(√(6))/(3)，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成的角的余弦值为(√(6))/(3)．…（12分）