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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.(1)若DE∥平面A1MC1,求CEEB;(2)求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.

(1)若DE∥平面A1MC1,求
;
(2)求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值.

(1)若DE∥平面A1MC1,求
CE |
EB |
(2)求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)取BC中点N,连结MN,C1N,…(1分)
∵M,N分别为AB,CB中点
∴MN∥AC∥A1C1,
∴A1,M,N,C1四点共面,…(3分)
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N,
又DE∩平面BCC1B1,
且DE∥平面A1MC1,∴DE∥C1N,
∵D为CC1的中点,∴E是CN的中点,…(5分)
∴
=
.…(6分)
(2)连结B1M,…(7分)
因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥AB,即四边形ABB1A1为矩形,且AB=2AA1,
∵M是AB的中点,∴B1M⊥A1M,
又A1C1⊥平面ABB1A1,
∴A1C1⊥B1M,从而B1M⊥平面A1MC1,…(9分)
∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影,
∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M,
又B1C1∥BC,
∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…(10分)
设AB=2AA1=2,且三角形A1MC1是等腰三角形
∴A1M=A1C1=
,则MC1=2,B1C1=
,
∴cos∠B1C1M=
=
,
∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为
.…(12分)

∵M,N分别为AB,CB中点
∴MN∥AC∥A1C1,
∴A1,M,N,C1四点共面,…(3分)
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N,
又DE∩平面BCC1B1,
且DE∥平面A1MC1,∴DE∥C1N,
∵D为CC1的中点,∴E是CN的中点,…(5分)
∴
CE |
EB |
1 |
3 |
(2)连结B1M,…(7分)
因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥AB,即四边形ABB1A1为矩形,且AB=2AA1,
∵M是AB的中点,∴B1M⊥A1M,
又A1C1⊥平面ABB1A1,
∴A1C1⊥B1M,从而B1M⊥平面A1MC1,…(9分)
∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影,
∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M,
又B1C1∥BC,
∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…(10分)
设AB=2AA1=2,且三角形A1MC1是等腰三角形
∴A1M=A1C1=
2 |
6 |
∴cos∠B1C1M=
MC1 |
B1C1 |
| ||
3 |
∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为
| ||
3 |
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